قضیه فیثاغورس و اقلیدس و مجموع مربعات !

در ریاضیات لازم نیست که حتما" بتوانیم قضایای جدیدی کشف 

کنیم تا از شورانگیزی ریاضیات و شیرینی آن لذت ببریم و مثلا"

اگر دیدیم نتیجه ای که به دست آورده ایم قبلا" توسط ریاضیدانان

مشهور کشف شده و ما خبر نداشته ایم بلافاصله شبیه 

رامانوجان دچار یاس و افسردگی بشویم بلکه حتّی اگر بتوانیم

همان قضایای مهم و معروف ریاضی را دوباره از نو کشف کنیم

و راه حلها یا اثباتها و برهان های جدیدی برای آنها به دست

آوریم هم کار بسیار باارزشی کرده ایم. مثلا" درست است که

قضیه فیثاغورس هزاران سال پیش در یونان کشف شده امّا اگر 

ما هم بتوانیم با روش جدیدی آن را اثبات کنیم در حقیقت دوباره

از نو کشف کرده ایم و اگر اثبات ما نو باشد باز هم کار باارزشی

است. یادم می آید زمانیکه سال دوم دبیرستان بودم معلم 

زحمتکش هندسه خدابیامرز آقای ایلپور یک کتاب کوچک سر 

کلاس آورده بود که در آن 35 روش مختلف برای اثبات قضیه

فیثاغورس ذکر شده بود. و در کتاب (در پی فیثاغورس) ترجمه

پرویز شهریاری هم روشهای متعددی برای این قضیه مهم

ریاضی خوانده ام. یعنی لازم نیست حتما" چیز جدیدی کشف

کنید بیاییم روی همین قضیه فیثاغورس کار کنیم که اثبات 

جدیدتری برایش بیابیم. یا نمونه دیگر قضیه مشهور اقلیدس

راجع به بیشمار بودن تعداد اعداد اوّل. در یکی از شماره های

قدیمی مجله رشد آموزش ریاضی راه حلهای گوناگونی برای

آن ذکر شده بود مثلا" از : پولیا  ددکیند  کومر  اویلر .... که

اثبات جورج پولیا این بود که اوّل ثابت می کنیم هر دو عدد 

فرما نسبت به هم اولند و بعد چون بیشمار عدد فرما 

می توانیم بسازیم پس بیشمار عدد اوّل وجود دارد. ...

خلاصه اینکه هر کدام از قضایا یا مسایل معروف ریاضی را

که بتوانیم با روش جدید و متکی به خود اثبات کنیم کار با

ارزشی کرده ایم. یک نمونه آن مساله مجموع مربعات 

اعداد طبیعی است که هزاران سال پیش حل شده ولی 

من هنوز ولش نکرده ام و تاکنون چهار راه حل برای آن 

یافته ام که فقط یکیشان را در کتاب خلاقیت ریاضی نوشته

جورج پولیا دیده ام و سه تای دیگرش هم در مجله اسپکتروم 

به چاپ رسیده اند. 

S(n)=1^2+2^2+3^2+....n^2=n(n+1)(2n+1)/6

و امّا راه حل من که در مجله اسپکتروم هم چاپ شده است :

S(2n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2

+...+(2n)^2=S(n)+SIQMA(n^2+2ni+i^2)=S(n)+n.n^2+

2n.n(n+1)/2+S(n)=2S(n)+n^3+n^2.(n+1)     Hence :

S(2n)=2S(n)+2n^3+n^2     (A)                  But :

S(2n)=(1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2)+

(2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2)=SIQMA(4i^2-4i+1)+

SIQMA(4i^2)=8S(n)-4n(n+1)/2+n=8S(n)-2n^2-n     (B)

Now from (A)  &  (B)   we have :

2S(n)+2n^3+n^2=8S(n)-2n^2-n        Or :

6S(n)=2n^3+3n^2+n        Consequently :

S(n)=n(n+1)(2n+1)/6

 

S_n